1、-民族学院理学院2016届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生： 远安 学 号： 021241015 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 先平 辩论时间： 2016.5.22 装订时间： 2016.5.25 A Graduation Thesis(Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Diagonalization of the Matri* and its ApplicationsStudent Name: ZHAO YuananStudent No.: 021241015 Specialty: Mathematics and Applied MathematicsSupervisor: Liu *ianping Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding:. z

2、.-摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比方说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进展分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及*些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式. z.-AbstractThe matri* is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application of matri* in many ways. So it is easier to understand in many fields, for e*ample, linear eq

3、uations, quadratic equations. In many characteristics, the matri* similarity is an very important aspect.We know that the matri* similarity is an equivalence relation by which we can classify matri*, the diagonal matri* is very important.This kind of matri* has good properties, and it is convenient for us to solve other problems,such as the application of similar matri* in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matri* and then

4、 give some applications of special matri* diagonalization.Key words: diagonal matri*，real symmetric matri*，idempotent matri*，involutory matri*，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomial 目录摘要III绪言1课题背景1目的和意义 1国外概况 1预备知识2相关概念2矩阵的对角化4特殊矩阵的对角化 14矩阵对角化的应用 22总结 24致 25参考文献 26独创声明 28. z.-1 绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1 课题背景在由大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版的高等代数一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反响出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程

5、也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反响为有关矩阵的*些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、外表上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是一样的. 在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们对待问题，进而又引入对角型矩阵、矩阵及假设尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度提醒矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2 课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1) 研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2) 比拟全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3 国外概况 实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已

6、完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破. 实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中. 矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究根本完善.2 预备知识 给出本文容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解. 定义1 常以表示数域上矩阵的全体，用表示单位矩阵.定义2阶方阵与是相似的，如果我们可以找到一个阶非奇异的方阵矩阵，使得或者 . 根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：反身性：； 对称性：假设相似于，则相似于； 传递性：如果相似于，相似于，则相似于.定义3阶方阵与是合同的，如果我们可以找到一个阶非奇异方阵，使得=或者. 根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：反身性：=；对称性：由即有；传递性：由和有.定义4 式为的阶方阵叫对角矩阵，这里是数. 定义5 方阵，假设，T非奇异，是对角阵，则称可相似对角化. 定义6 方阵，假设，T非奇异，是对角阵，则称可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：互换矩阵的第行(列)于行(列)； 用非零数乘以矩阵第行(

7、列)；把矩阵第行的倍加到第行. 定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：单位矩阵经过初等变换得且；单位矩阵经过初等变换得且；单位矩阵经过初等变换得且. 定义9 设方阵，假设，就称为对合矩阵. 定义10 设方阵，假设，就称为幂幺矩阵. 定义 11 设方阵，假设，就称为幂等矩阵.定义 12 设方阵，假设存在向量，满足，我们就称是的特征值，是属于特征值的特征向量. 定义13，定义为矩阵的最小多项式 ，的一个根为而且比其他以为根的多项式的次数都低，首项系数是1.3 矩阵的对角化本章介绍数域上阶方阵阵的对角化问题. 先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1 如果，是矩阵Q的不同的特征值，而，是属于特征值的线性无关的特征向量，,，则,，,，也线性无关.证明：假设=0，令+=，则，且 =0 1分别用左乘以1两端，再由引理4得：，;),由此有该线性方程组的系数矩阵为，为德蒙行列式，又由互异有.根据克拉默法则就有，即+=0，再由线性无关得： ，故线性无关.推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1 与对角阵相似有个特征向量，它们是线性无关的.证明：可以对角化可逆矩阵，使得，即=.因此可以对角化存在使得，也即有个线性无关的特征向量. 根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵有个不同的特征值，则该矩阵可对角化.证明：由Q有个不同的特征值及引理1的推论有Q有个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q可以对角化. 注意：该推论为对角化的充分条件. 定理2互不一样是的特征值，可对角化 r表示矩阵的秩. 证明：的根底解系的一组基向量的个数为：，我们可以得到关于的线性无关的特征向量的个数是，再由引理1推出矩阵有个线性无关的特征向量. 根据定理1就有：阶方阵可对角

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