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特征值及特征向量定义及计算.doc

上传人（卖家）：dg****3

文档编号：6421181

上传时间：2022-04-05

文档格式：DOC

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1、.特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，l是一个未知量，称为A的特征多项式，记(l)=| lE-A|，是一个P上的关于l的n次多项式，E是单位矩阵。(l)=| lE-A|=ln+a1ln-1+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程(l)=| lE-A|=0的根 (如：l0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域有且仅有n 个根，而在实数域不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。以A的特征值l0代入 (lE-A)*=q，得方程组 (l0E-A)*=q，是一个齐次方程组，称为A的关于l0的特征方程组。因为 |l0E-A|=0，(l0E-A)*=q必存在非零解*(0)，*(0) 称为A的属于l0的特征向量。所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由A*=l0*，l0E*=A*，得： l0E-A*=q即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式 |l0E-A| =0的根，由代数根本定理有n个复根l1, l2, ln，为A的

2、n个特征根。当特征根li (I=1,2,n)求出后，(liE-A)*=q是齐次方程，li均会使 |liE-A|=0，(liE-A)*=q必存在非零解，且有无穷个解向量，(liE-A)*=q的根底解系以及根底解系的线性组合都是A的特征向量。例1. 求矩阵的特征值与特征向量。解：由特征方程解得A有2重特征值l1=l2=-2，有单特征值l3=4 对于特征值l1=l2=-2，解方程组 (-2E-A)*=q得同解方程组 *1-*2+*3=0 解为*1=*2-*3 (*2,*3为自由未知量) 分别令自由未知量得根底解系所以A的对应于特征值l1=l2=-2的全部特征向量为*=k1x1+k2x2 (k1,k2不全为零) 可见，特征值l=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数特征根的重数。对于特征值l3=4，方程组 (4E-A)*=q得同解方程组为通解为令自由未知量 *3=2 得根底解系所以A的对于特征值l3=4 得全部特征向量为 *= k3 x3例2.求矩阵的特征值与特征向量解：由特征方程解得A有单特征值l1=1，有2重特征值l2=l3=0 对于l1=1，解方程组 (E-A) * = q得同解方程组为同解为令自由未知量 *3=1，得根底解系所以A的对应于特征值l1=1的全部特征向量为 *=k1x1 (k10) 对于特征值l2=l3=0，解方程组 (0E-A)=q得同解方程组为通解为令自由未知量 *3=1，得根底解系此处，二重根l=0 的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数

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