1、-典型例题一例1 用0到9这10 个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数.解法1：当个位数上排0时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有个； 当个位上在2、4、6、8中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有个 没有重复数字的四位偶数有个典型例题二例2 三个女生和五个男生排成一排 1如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法. 2如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法. 3如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法. 4如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法.解：1捆绑法因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有对种不同的排法，因此共有种不同的排法 2插空法要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不

2、相邻由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法 3解法1：位置分析法因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有种不同的排法4解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，这时末位就只能排男生，有种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有种不同的排法，这样可有种不同排法因此共有种不同的排法解法2：3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中扣去两端都是女生排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有种不同的排法典型例题三例3 排一有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 1任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种. 2歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种. 解：1先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：43200. 2先排舞蹈节目有中方法，在舞蹈节目之间以

3、及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：2880种方法。典型例题四例4 *一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，则共有多少种不同的排课程表的方法分析与解法1：6六门课总的排法是，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有种排法，如图中；数学排在最后一节有种排法，如图中；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中，这种情况有种排法，因此符合条件的排法应是：种典型例题五例5现有辆公交车、位司机和位售票员，每辆车上需配位司机和位售票员问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种.分析：可以把辆车看成排了顺序的三个空：，然后把名司机和名售票员分别填入因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题解：分两步完成第一步，把名司机安排到辆车中，有种安排方法；第二步把名售票员安排到辆车中，有种安排方法故搭配方案共有种典型例题六例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表如果有所重点院校，每所院校有个专业是你较为满意的选择假设表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少

4、种不同的填表方法.解：填表过程可分两步第一步，确定填报学校及其顺序，则在所学校中选出所并加排列，共有种不同的排法；第二步，从每所院校的个专业中选出个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有种综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：种典型例题七例5名同学排队照相(1)假设分成两排照，前排人，后排人，有多少种不同的排法.(2)假设排成两排照，前排人，后排人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法.(3)假设排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法.(4)假设排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法.解：(1)种(2)第一步安排甲，有种排法；第二步安排乙，有种排法；第三步余下的人排在剩下的个位置上，有种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有种(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余个元素排成一排，即看成个元素的全排列问题，有种排法；第二步，甲、乙、丙三人部全排列，有种排法由分步计数原理得，共有种排法(4)第一步，名男生全排列，有种排法；第二步，女生插空，即将名女生插入名男生之间的个空位，这样可保证女生不相邻，

5、易知有种插入方法由分步计数原理得，符合条件的排法共有：种典型例题八例8从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和解：形如的数共有个，当这些数相加时，由产生的和是；形如的数也有个，当这些数相加时，由产生的和是；形如的数也有个，当这些数相加时，由产生的和应是这样在所有三位数的和中，由产生的和是同理由产生的和分别是，因此所有三位数的和是典型例题九例9计算以下各题：(1)；(2)；(3)；(4)(5)解：(1)；(2);(3)原式；(4)原式；(5)，此题计算中灵活地用到以下各式：；使问题解得简单、快捷典型例题十例10六人排一列纵队，限定要排在的前面与可以相邻，也可以不相邻，求共有几种排法对这个题目，、四位同学各自给出了一种算式：的算式是；的算式是；的算式是；的算式是上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由解：中很显然，在前的六人纵队的排队数目与在前的六人纵队排队数目相等，而六人纵队的排法数目应是这二者数目之和这说明：的算式正确中把六人排队这件事划分为占位，占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到占位的状况决定了占位的方法数，第一阶段，当占据

6、第一个位置时，占位方法数是；当占据第2个位置时，占位的方法数是；当占据第5个位置时，占位的方法数是，当，占位后，再排其他四人，他们有种排法，可见的算式是正确的中可理解为从6个位置中选4个位置让占据，这时，剩下的两个位置依前后顺序应是的因此的算式也正确中把6个位置先圈定两个位置的方法数，这两个位置让占据，显然，占据这两个圈定的位置的方法只有一种要在的前面，这时，再排其余四人，又有种排法，可见的算式是对的说明：下一节组合学完后，可回过头来学习的解法典型例题十一例11八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排方法.解法1：可分为乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法和乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法两类情况应当使用加法原理，在每类情况下，划分乙丙坐下、甲坐下；其他五人坐下三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：(种)解法2：采取总方法数减去不命题意的所有方法数的算法把甲坐在第一排的八人坐法数看成总方法数，这个数目是在这种前提下，不合题意的方法是甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法这个数目是其中第一个因数表示甲坐在第一排的方法数，表示从乙、丙中

7、任选出一人的方法数，表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为(种)说明：解法2可在学完组合后回过头来学习典型例题十二例12 方案在*画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，则不同列方式有ABCD解：将同一品种的画捆在一起，注意到水彩画不放在两端，共有种排列但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求所以共有种列方式应选D说明：关于假设干个元素相邻的排列问题，一般使用捆绑法，也就是将相邻的假设干个元素捆绑在一起，看作一个大元素，与其他的元素进展全排列；然后，再松绑，将被捆绑的假设干元素，部进展全排列本例题就是一个典型的用捆绑法来解答的问题典型例题十三例13 由数字组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有A210B300C464D600解法1：直接法：分别用作十万位的排列数，共有种，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有个解法2：间接法：取个数字排列有，而作为十万位的排列有，所以其中个位数字小于

8、十位数字的这样的六位数有(个)应选B说明：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种根本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比拟困难或者比拟麻烦，这时应考虑能否用间接法来解(2)个位数字小于十位数字与个位数字大于十位数字具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法典型例题十四例14 用，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有A24个B30个C40个D60个分析：此题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用此题所提供的选择项分析判断解法1：分类计算将符合条件的偶数分为两类一类是2作个位数，共有个，另一类是4作个位数，也有个因此符合条件的偶数共有个解法2：分步计算先排个位数字，有种排法，再排十位和百位数字，有种排法，根据分步计数原理，三位偶数应有个解法3：按概率算用这个数字可以组成没有重复数字的三位数共有个，其中偶点其中的因此三位偶数共有个解法4：利用选择项判断用这个数字可以组成没有重复数字的三位数共有个其中偶数少于奇数，因此偶数的个数应少于个，四个选择项所提供的答案中，只有符合条件应选典型例题十五例15(1)计算(2)求()的个位数字分析：此题如果直接用排列数公式计算，在运算上比拟困难，现在我们可以从和式中项的特点以及排列数公式的特点两方面考虑在(1)中，项可抽象为，(2)中，项为，当时，乘积中出现5和2，积的个位数为0，在加法运算中可不考虑解：(1)由原式(2)当时，的个位数为0，()的个位数字与的个位数字一样而，的个位数字为3说明：对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键，比方：求证：，我们首先可抓等式右边的，左边右边典型例题十六例16用共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重复数字的位偶数.(2)可以组成多少个无重复数字且被整除的三位数.分析：位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是，由于个位用或者不用数字，对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用或者用进展分类一个自然数能被整除的条件是所有数字之和是的倍数，此题可以先确定用哪三个数字，然后进展排列，但要注意就用与不用数字进展分类解：(1)就个

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