1、- 函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：1分母不为零 2偶次根式的被开方数非负。3对数中的真数局部大于0。 4指数、对数的底数大于0，且不等于1 5y=tan*中*k+/2；y=cot*中*k等等。 ( 6 )中*二、值域是函数y=f(*)中y的取值围。 常用的求值域的方法： 1直接法 2图象法数形结合 3函数单调性法 4配方法 5换元法 包括三角换元6反函数法逆求法 7别离常数法 8判别式法 9复合函数法 10不等式法 11平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。定义域的求法1、直接定义域问题例1 求以下函数的定义域：；解：*-2=0，即*=2时，分式无意义，而时，分式有意义，这个函数的定义域是.3*+20，即*-时，根式无意义，而，即时，根式才有意义，这个函数的定义域是|.当，即且时，根式和分式 同时有意义，这个函数的定义域是|且另解：要使函数有意义，必须： 例2 求以下函数的定义域：解：要使函数有意义，必须： 即： 函数的定义域为： 要使函数有意义，必须：定义域为： *|要使函数有意义，必须： 函数的定义域为：要使函数有意义，必须： 定义域为

2、：要使函数有意义，必须： 即 *定义域为：2 定义域的逆向问题例3 假设函数的定义域是R，数a 的取值围 (定义域的逆向问题)解：定义域是R,练习： 定义域是一切实数，则m的取值围；3 复合函数定义域的求法例4 假设函数的定义域为-1，1，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须：函数的定义域为：例5 f(*)的定义域为1，1，求f(2*1)的定义域。分析：法则f要求自变量在1，1取值，则法则作用在2*1上必也要求2*1在 1，1取值，即12*11,解出*的取值围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2*1)中2*1与f(*)中的*位置一样，围也应一样，12*11,解出*的取值围就是复合函数的定义域。注意：f(*)中的*与f(2*1)中的*不是同一个*，即它们意义不同。解：f(*)的定义域为1，1，12*11，解之0*1，f(2*1)的定义域为0，1。例6f(*)的定义域为1，1，求f(*2)的定义域。答案：1*21 *211*1练习：设的定义域是-3，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须： 得： 0 函数的定域义为：例7 f(2*1)的定义域为0，1，求f(*)的定义域因为2*1

3、是R上的单调递增函数，因此由2*1， *0,1求得的值域1，1是f(*)的定义域。练习：1 f(3*1)的定义域为1，2，求f(2*+1)的定义域。 提示：定义域是自变量*的取值围2 f(*2)的定义域为1，1，求f(*)的定义域3 假设的定义域是，则函数的定义域是4 函数的定义域为，函数的定义域为，则B 求值域问题利用常见函数的值域来求直接法一次函数y=a*+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为*|*0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0，=，当*0时，则当时，其最小值；当a0时或最大值a0时， 再比拟的大小决定函数的最大小值.假设a,b,则a,b是在的单调区间，只需比拟的大小即可决定函数的最大小值.注：假设给定区间不是闭区间，则可能得不到最大小值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进展讨论.练习：1、求函数y=3+的值域 解：由算术平方根的性质，知0，故3+3。函数的值域为. 2、求函数 的值域 解：对称轴 1 单调性法例3 求函数y=4*(*1/3)的值域。设f(*)=4*,g(*)= ,(*1/3),

4、易知它们在定义域为增函数，从而y=f(*)+g(*)=4*-在定义域为*1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+的值域。(答案：y|y3)2 换元法例4 求函数 的值域 解：设，则 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法表达换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=的值域。答案：y|y3/4 求的值域；例5 三角换元法求函数的值域解： 设小结：1假设题目中含有，则可设2假设题目中含有则可设，其中3假设题目中含有，则可设，其中4假设题目中含有，则可设，其中 5假设题目中含有，则可设其中3 平方法例5 选求函数 的值域解：函数定义域为：4 别离常数法 例6 求函数 的值域由 ，可得值域小结：分式函数，如果在其自然定义域代数式自身对变量的要求，值域为；如果是条件定义域对自变量有附加条件，采用

5、局部分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。练习求函数 的值域 求函数 的值域01 求函数 y=的值域；y(-1，1)-10134-4*y例7 求 的值域解法一：图象法可化为 如图， 观察得值域解法二：不等式法 同样可得值域练习：的值域例8 求函数 的值域解：换元法设 ，则 原函数可化为例9求函数 的值域 解：换元法令，则10*y 由指数函数的单调性知，原函数的值域为例10 求函数 的值域解：图象法如图，值域为 换元法设 ，则例13 函数 的值域解法一：逆求法2解法二：换元法设 ，则 解法三：判别式法原函数可化为 1） 时 不成立2） 时，综合1、2值域解法四：三角换元法设，则原函数的值域为10例14 求函数的值域5解法一：判别式法化为1时，不成立2时，得综合1、2值域解法二：复合函数法令，则 所以，值域例15 函数的值域解法一：判别式法原式可化为 解法二：不等式法1当时，2） 时，综合12知，原函数值域为例16 (选) 求函数的值域解法一：判别式法原式可化为 解法二：不等式法原函数可化为 当且仅当时取等号，故值域为例17 选 求函数的值域解：换元法令 ，则原函数可化为。小结：分式函

6、数 ，如果在其自然定义域可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为选的形式，采用局部分式法，进而用根本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用根本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。练习：1 、；解：*0，y11.另外，此题利用根本不等式解更简捷：(或利用对勾函数图像法)2 、0y5.3 、求函数的值域； 解：令0,则,原式可化为,u0，y，函数的值域是-，.解：令 t=4*-0 得 0*4 在此区间 (4*-)=4 ，(4*-) =0函数的值域是 y| 0y24、求函数y=|*+1|+|*-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象以下图，由图象可知，函数的值域是y|y3.解法2：函数y=|*+1|+|*-2|表示数轴上的动点*到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+. 如图5、求函数的值域解：设 则 t0 *=1-代入得 t0 y46、选求函数的值域方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)*-6y-6=0 当 y1时*R =(y+5)+4(y-1)6(y+1)0由此得 (5y+1)0检验 有一个根时需验证时 代入求根2 定义域 *| *2且 *3 再检验 y=1 代入求得 *=2 y1综上所述，函数的值域为 y| y1且 y方法二：把函数化为函数(*2)由此可得 y1， *=2时即函数的值域为 y| y1且 y. z

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